Rotating magnetic shallow water waves and instabilities in a sphere

Abstract

Waves in a thin layer on a rotating sphere are studied. The effect of a toroidal magnetic field is considered, using the shallow water ideal MHD equations. The work is motivated by suggestions that there is a stably stratified layer below the Earth’s core mantle boundary, and the existence of stable layers in stellar tachoclines. With an azimuthal background field known as the Malkus field, Bφ = B0sinθ, θ being the co-latitude, a non-diffusive instability is found with azimuthal wavenumber m = 1. A necessary condition for instability is that the Alfvén speed exceeds Ω R where Ω is the rotation rate and R the sphere radius. Magneto-inertial gravity waves propagating westward and eastward occur, and become equatorially trapped when the field is strong. Magneto-Kelvin waves propagate eastward at low field strength, but a new westward propagating Kelvin wave is found when the field is strong. Fast magnetic Rossby waves travel westward, whilst the slow magnetic Rossby waves generally travel eastward, except for some m = 1 modes at large field strength. An exceptional very slow westward m = 1 magnetic Rossby wave mode occurs at all field strengths. The current-driven instability occurs for m = 1 when the slow and fast magnetic Rossby waves interact. With strong field the magnetic Rossby waves become trapped at the pole. An asymptotic analysis giving the wave speed and wave form in terms of elementary functions is possible both in polar trapped and equatorially trapped cases.

Se estudian las ondas en una capa delgada sobre una esfera giratoria. Se considera el efecto de un campo magnético toroidal, utilizando las ecuaciones MHD ideales para aguas poco profundas. El trabajo está motivado por las sugerencias de que existe una capa estratificada de manera estable debajo del límite del manto del núcleo de la Tierra y la existencia de capas estables en las tacoclinas estelares. Con un campo de fondo azimutal conocido como campo Malkus, Bφ = B0sinθ, siendo θ la co-latitud, se encuentra una inestabilidad no difusiva con un número de onda azimutal m = 1. Una condición necesaria para la inestabilidad es que la velocidad de Alfvén exceda Ω R donde Ω es la velocidad de rotación y R el radio de la esfera. Ocurren ondas de gravedad magneto-inerciales que se propagan hacia el oeste y el este, y quedan atrapadas ecuatoriamente cuando el campo es fuerte. Las ondas Magneto-Kelvin se propagan hacia el este con una intensidad de campo baja, pero se encuentra una nueva onda Kelvin que se propaga hacia el oeste cuando el campo es fuerte. Las ondas magnéticas rápidas de Rossby viajan hacia el oeste, mientras que las ondas magnéticas lentas de Rossby generalmente viajan hacia el este, excepto en algunos modos m = 1 con una gran intensidad de campo. Un modo de onda magnética de Rossby excepcional muy lento m = 1 hacia el oeste ocurre en todas las intensidades de campo. La inestabilidad impulsada por la corriente ocurre para m = 1 cuando las ondas magnéticas de Rossby lentas y rápidas interactúan. Con un campo fuerte, las ondas magnéticas de Rossby quedan atrapadas en el polo. Un análisis asintótico que proporcione la velocidad y la forma de la onda en términos de funciones elementales es posible tanto en casos de atrapamiento polar como de atrapamiento ecuatorial.